6. Problema de
Monty Hall
En un programa de televisión, el conductor hace pasar a su
invitado a competir por el premio mayor: un automóvil cero kilómetro. En el
estrado hay tres puertas cerradas. Detrás de dos de esas puertas, hay una foto
de un chivo. En cambio, detrás de la tercera hay una reproducción del vehículo.
El participante tiene que elegir una de las tres puertas. Y si elige la
correcta, se queda con el automóvil.
Hasta aquí, no habría nada original. Sería un programa
convencional de preguntas y acertijos de los múltiples que existen en la
televisión. Pero el problema tiene un agregado. Una vez que el invitado
"elige" una de las tres puertas, el conductor del programa, que sabe
detrás de cuál está el premio, pretende colaborar con el participante, y para
hacerlo, "abre" una de las puertas en las que él sabe que no está el
automóvil.
Y después le ofrece una nueva chance para elegir. ¿Cuál es la
mejor estrategia? O sea, ¿qué es lo que más le conviene al participante?
¿Quedarse con lo que había elegido antes? ¿Cambiar de puerta? ¿O es irrelevante
a los efectos de incrementar la probabilidad de ganar?
En este punto, yo les sugiero que abandonen la lectura por un
momento y se concentren en pensar qué harían. Y luego, sí, vuelvan para
corroborar si lo que pensaron estaba bien o había algunas otras cosas para
considerar.
(Ahora los imagino recién retornados.)
El problema presenta una arista anti-intuitiva. ¿Por qué? Porque
la tentación es contestar lo siguiente: ¿qué importancia tiene que cambie o no
cambie una vez que quedan dos puertas so lamente? Uno sabe que detrás de una de
las dos está el automóvil, y en todo caso, la probabilidad de que esté detrás
de una o de otra es la mitad.
Pero, ¿es verdad esto? Porque en realidad, más allá de la
solución, los invito a pensar lo siguiente: ¿podemos ignorar que el problema no
empezó con la segunda pregunta sino que en principio había tres puertas y la
probabilidad de acertar era 1 en 3?
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE MONTY HALL
En
principio, cuando el participante hace su primera elección, tiene una chance de
acertar entre tres. O sea, la probabilidad de que se quede con el automóvil es
un tercio. Aunque parezca redundante, este hecho es importante: el finalista
tiene una chance para acertar entre tres, y dos de errar.
¿Qué
preferirían ustedes en este caso? ¿Tener dos puertas o una sola? Claramente,
uno elegiría tener dos y no una. Eso significa que, al elegir una, se está en
desventaja con respecto a las otras dos. Y por eso, si hubiera otro
participante y a él lo dejaran elegir dos, ustedes sentirían que quedaron en
inferioridad de condiciones. Es más: siguiendo con esta idea, es seguro que si
hubiera otro participante que se quedó con dos puertas para él, en una de ellas
habría un chivo. Por eso, no es una sorpresa que el conductor del programa abra
una de las que le correspondió a el y allí no estuviera el automóvil.
En eso,
justamente, radica la idea del problema. Es preferible tener dos puertas, que
tener una sola. Y por eso, cuando a uno le dan la chance de cambiar, debe
cambia inmediatamente porque aumenta uno las chances de acertar al doble, nada
menos. Es que uno no puede ignorar que el problema empieza con las tres puertas
y uno elige una de las tres.
Ahora,
para convencerse aun más (si es que todavía le hace falta), veamos
exhaustivamente todas las posibilidades.
Éstas
son las tres posibles configuraciones:
Puerta 1
Puerta 2 Puerta 3
Posición
1 Automóvil Chivo
Chivo
Posición
2 Chivo Automóvil Chivo
Posición
3 Chivo Chivo
Automóvil
Supongamos
que tenemos la posición 1.
POSIBILIDAD
1: Ustedes eligen la puerta 1. El conductor abre la 2. Si ustedes cambian,
PIERDEN.
Si
ustedes se quedan, GANAN.
Es obvio
que si el conductor hubiera abierto la puerta 3, el resultado sería el mismo.
POSIBILIDAD
2: Ustedes eligen la puerta 2. El conductor abre la 3. Si ustedes cambian,
GANAN.
Si
ustedes se quedan, PIERDEN.
POSIBILIDAD
3: Ustedes eligen la puerta 3. El conductor abre la 2. Si ustedes cambian,
GANAN.
Si
ustedes se quedan, PIERDEN.
En
resumen, ustedes GANAN en dos de las veces si cambian y sólo GANAN una vez si
se quedan. Es decir, GANAN en el doble de las veces si cambian. Esto que
parece" anti-intuitivo" o que "atenta contra la intuición;
debería convencerlos. Pero si aún no es así, les sugiero que se sienten un rato
con un lápiz.
En todo
caso, otra manera de pensarlo es la siguiente: supongamos que en lugar de haber
tres puertas, hubiera un millón de puertas y les dan a elegir una sola (como
antes). Por supuesto, como antes, sólo detrás de una hay un automóvil. Para
hacerlo aun más evidente, supongamos que hay dos competidores: uno de ustedes y
otro. A uno le dan a elegir una sola puerta y, al otro, le dan las 999.999
restantes. No hace falta que le pregunte si a usted no le gustaría tener la
chance de ser el otro, ya que la respuesta seria obvia. El otro tiene 999.999
más posibilidades de ganar. Ahora supongamos que una vez elegida una puerta, el
conductor del programa abre 999.998 de las puertas del otro en donde él sabe
que no esta el automóvil y le da la chance ahora de elegir de nuevo: ¿se queda
con la que eligió en principio o elige la que tiene el otro? Creo que ahora se
entiende mejor (espero) que es conveniente cambiar.
En todo caso, los invito a
que piensen lo que sería tener que fabricar la tablita que aparece adjunta,
pero en lugar de hacerla con tres puertas hacerla con un millón.
