11. Sombreros (2):
Sobre cómo mejorar una estrategia
Se tiene ahora el siguiente problema, también ligado a sombreros
de color blanco y negro:
Una vez más, supongamos que hay tres reclusos en una cárcel: A,
B y C. El director decidió premiarlos por buena conducta. Pero también quiso
poner a prueba la capacidad de deducción que los tres pudieran tener. Y les
propuso entonces lo siguiente. Los convocó a los tres en una habitación y les
dijo:
-Como ven, tengo aquí una pila de sombreros blancos y otra de
sombreros negros, -mientras con su dedo apuntaba hacia dos hileras verticales
de sombreros de esos colores.
- Yo voy a elegir un sombrero para cada uno. Se los voy a dar
sin que ustedes puedan ver de qué color es el que les tocó pero sí podrán ver
el de los otros dos. Una vez que haya hecho la distribución, voy a
preguntarles, uno por uno, qué color de sombrero tienen. Y ustedes tendrán que
elegir o bien blanco o bien negro. Pueden optar por no contestar, y, en ese
caso, pasan. De todas formas, para que queden en libertad los tres hace falta
que ninguno de los tres entregue una respuesta equivocada. Pueden pasar dos,
pero entonces el restante tiene que elegir: blanco o negro. Si alguno de los
tres se equivoca, no hay libertad para ninguno. Pero basta una respuesta
correcta y ninguna incorrecta para que los tres salgan en libertad.
Les voy a mostrar una estrategia para resolver el problema. Y es
la siguiente: A y B, al ser consultados, pasan. Y C elige una posibilidad
cualquiera. Luego, tiene la mitad de posibilidades de acertar (50%).
Esta estrategia, entonces, conduce a la libertad en un 50% de
los casos. La pregunta es: ¿existe alguna estrategia que mejore ésta?
Ustedes, -les dijo a los presos- pueden planificar la estrategia
que quieran. Pero no podrán conversar más en el momento que yo distribuyo los
sombreros.
Los reclusos se encerraron en una pieza y se pusieron a pensar.
Y consiguieron una solución. La respuesta, si no la consiguen ustedes solos,
está en la página de soluciones.
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LOS SOMBREROS (2)
¿Cómo
hacer para mejorar la estrategia del 50%?
Lo que
uno hace es lo siguiente. ¿Cuales son las posibilidades de distribución de los
sombreros? Pongamos en columnas los ocho casos (hagan la cuenta para
convencerse de que hay sólo ocho posibles alternativas):
A B
C
blanco blanco
blanco
blanco blanco
negro
blanco negro
blanco
blanco negro
negro
negro blanco
blanco
negro blanco
negro
negro negro
blanco
negro negro
negro
La
estrategia que establecen los tres es la siguiente: "cuando el director nos
pregunte a uno de nosotros el color de sombrero, miramos los colores de
sombrero de los otros dos. Si son iguales entre sí, elegimos el contrario. Si
son distintos, pasamos". Veamos qué pasa con esta estrategia. Para eso,
los invito a que analicemos la tabla que figura en (*).
A B
C
1)
blanco blanco blanco
2)
blanco blanco negro
3)
blanco negro blanco
4)
blanco negro negro
5) negro blanco
blanco
6) negro blanco
negro
7) negro negro
blanco
8) negro negro
negro
Veamos
en cuales de las ocho posibilidades la respuesta garantiza la libertad (es
decir, una correcta por lo menos y ninguna incorrecta). En el caso (1), A, al
ver dos sombreros de igual color (blanco en este caso), dice negro. Y pierden.
Este caso es perdedor. En el caso (2), A, al ver colores distintos, pasa. B, al
ver distintos, pasa también. Pero C, como ve que A y B tienen sombreros
blancos, dice negro y ganan. Este caso es ganador. En el caso (3), A, al ver
colores distintos, pasa. B ve dos colores iguales (blancos para A y C),
entonces elige el contrario y gana. Este caso es ganador. En el caso (4), A, al
ver sombreros de igual color (negro y negro), elige el contrario y gana
también. Este caso es ganador.
Ahora,
creo que puedo ir más rápido: en el caso (5), A gana porque dice negro y los
otros dos pasan. Este caso es ganador. El caso (6), A pasa, pero B dice blanco
(al ver que A y C tienen negro. Y este caso es ganador también.
En el
caso (7), A pasa, B pasa también y C dice blanco y gana, ya que tanto A como B
tienen el mismo color. Este caso es ganador. Por ultimo, el caso (8): A pierde,
porque ve que B y C tienen el mismo color de sombrero (negro) y él elige el
contrario, blanco, y pierde. Este caso es perdedor.
Si uno
mira la cuenta, de los ocho casos posibles, la estrategia permite acertar en
seis casos. Luego, la probabilidad de éxito es de 314, o sea, de un 75%, que,
claramente, mejora la estrategia inicial.
