Pensamiento Lateral: Adrián Paenza _reflexiones II

EL DR. ADRIAN PAENZA NOS INVITA A PENSAR…

  

El problema de los Cuatro Colores

Yo sé que ustedes nunca tuvieron que colorear un mapa desde que dejaron la escuela primaria. Y ni siquiera estoy tan seguro de que hubiera sido el caso. De hecho, no creo que los niños de hoy tengan que colorear mapas "a mano", aunque uno nunca sabe.

El hecho es que hay un teorema que tuvo a los matemáticos muchos años sin encontrar la solución. Y se trató de lo siguiente: supongamos que uno tiene un mapa. Sí, un mapa. Un mapa cualquiera, que ni siquiera tiene que corresponder con la realidad de una región.

La pregunta es: "¿cuántos colores hacen falta para colorearlo?". Sí: ya sé. Uno tiene entre sus "pinturitas" o en la computadora muchísimos colores. ¿Por qué preguntarse cuántos colores distintos son necesarios, si uno puede usar muchos más de los que necesita? ¿Para qué podría servir calcular una "cota" máxima? Y en todo caso, ¿qué tiene que ver el número cuatro?

La Conjetura de los Cuatro Colores surgió de la siguiente manera: Francis Guthrie era un estudiante de una universidad en Londres. Uno de sus profesores era Augustus De Morgan. Francis le mostró a su hermano Frederick (que también había sido estudiante de De Morgan) una conjetura que tenía con respecto a la coloración de unos mapas, y como no podía resolver el problema, le pidió a su hermano que consultara al renombrado profesor.

De Morgan, quien tampoco pudo encontrar la solución, le escribió a Sir William Rowan Hamilton, en Dublín, el mismo día que le hicieron la pregunta, el 23 de octubre de 1852:

"Un estudiante me pidió que le diera un argumento sobre un hecho que yo ni siquiera sabía que era un hecho, ni lo sé aún ahora. El estudiante dice que si uno toma una figura (plana) cualquiera y la divide en compartimentos pintados con diferentes colores, de manera tal que dos adyacentes no tengan un color en común, entonces él sostiene que cuatro colores son suficientes”:

Hamilton le contestó el 26 de octubre de 1852 y le dijo que no estaba en condiciones de resolver el problema. De Morgan continuó pidiendo asistencia a la comunidad matemática, pero nadie parecía encontrar una respuesta. Cayley, por ejemplo, uno de los matemáticos más famosos de la época, enterado de la situación, planteó el problema a la Sociedad de Matemática de Londres, el 13 de junio de 1878, y preguntó si alguien había resuelto la Conjetura de los Cuatro Colores.

El 17 de julio de 1879, Alfred Bray Kempe anunció en la revista Nature que tenía una demostración de la Conjetura. Kempe era un abogado que trabajaba en Londres y que había estudiado matemática con Cayley en Cambridge.

Cayley le sugirió a Kempe que enviara su Teorema al American Journal of Mathematics, donde fue publicado en 1879. A partir de ese momento, Kempe ganó un prestigio inusitado y su demostración fue premiada cuando lo nombraron Miembro de la Sociedad Real ( Fellow of the Royal Society ) en la que actuó como tesorero por muchísimos años. Es más: lo nombraron "Caballero de la Reina" en 1912.

Kempe publicó dos pruebas más del ahora Teorema de los Cuatro Colores, con versiones que mejoraban las demostraciones anteriores.

Sin embargo, en 1890 Percy John Heawood encontró errores en las demostraciones de Kempe. Si bien mostró por qué y en dónde se había equivocado Kempe, Heawood probó que con cinco colores alcanzaba para colorear cualquier mapa.

Kempe aceptó el error ante la sociedad matemática londinense y se declaró incompetente para resolver el error en la demostración, en su demostración.

Todavía en 1896, el famoso Charles De la Vallée Poussin encontró también el error en la demostración de Kempe, ignorando aparentemente que Heawood ya lo había encontrado antes.

Heawood dedicó sesenta años de su vida a colorear mapas y a encontrar potenciales simplificaciones del problema (la más conocida dice que si el número de aristas alrededor de cada región es divisible por 3, entonces el mapa se puede colorear con cuatro colores), pero no pudo llegar a la prueba final.

El problema seguía sin solución... 




Muchos científicos en el mundo le dedicaron buena parte de sus vidas a probar la Conjetura sin suerte. Y obviamente, hubo mucha gente interesada en probar lo contrario. Es decir: encontrar un mapa que no se pudiera colorear con cuatro colores.

Recién en 1976 (si, 1976) la Conjetura tuvo solución y pasó a ser, nuevamente, el Teorema de los Cuatro Colores. La demostración corrió por cuenta de Kenneth Appel y Wolfgang Haken, quien con el advenimiento de las computadoras lograron probar el resultado. Ambos trabajaban en la Universidad de Illinois en Urbana, en la localidad de Champaign.

Usaron más de 1.200 horas de las computadoras más rápidas que había en la época para poder demostrar la conjetura. Tanto es así, que el Teorema de los Cuatro Colores es uno de los primeros casos en la historia de la matemática, en donde la computadora ha tenido una incidencia tan fuerte: permitió que un resultado que venía evadiendo a los matemáticos durante más de un siglo fuera resuelto.

Naturalmente, la demostración trajo gran desazón en el mundo de la matemática, no porque se esperara que el resultado fuera falso (en realidad, todo lo contrario) sino porque era el primer caso en donde la máquina (en algún sentido) estaba superando al hombre. ¿Cómo no poder encontrar una demostración mejor? ¿Cómo no poder encontrar una demostración que no dependiera de un agente externo?

Es que los cálculos más optimistas establecen que, para poder comprobar lo que hicieron Appel y Haken "a mano”; por una persona que le dedicara 60 horas por semana, necesitaría ¡cien mil años! para cumplir con la misma tarea.

Los detalles de la demostración fueron publicados en dos " papers " que aparecieron en 1977. Y lo notable de esto fue que los seres humanos, dos en este caso, lograron reducir el problema a casos, muchos casos, que quizás hubieran tomado varias vidas para comprobar. Las computadoras hicieron el resto, pero lo que quiero enfatizar es que sin humanos las computadoras no hubieran sabido qué hacer (ni para qué).

 Santa Claus

Como creo que aún hoy hay gente que le reclama a Santa Claus que no le haya traído lo que le pidió, les pido que sigan atentamente las peripecias que el pobre Santa tiene que padecer todos los años. Aquí va:

Existen aproximadamente dos mil millones de niños en el mundo. Sin embargo, como Santa Claus no visita niños musulmanes, ni judíos ni budistas, esto reduce su trabajo en la noche de Navidad y sólo tiene que visitar 378 millones de chicos.

Con una tasa promedio de 3,5 "niños" por casa, se convierte en 108 millones de hogares (suponiendo que al menos hay un niño bueno por casa). Santa Claus tiene alrededor de 31 horas de Navidad para realizar su trabajo, gracias a las diferentes zonas horarias y a la rotación de la Tierra, asumiendo que viaja de este a oeste (lo cual parece lógico). 

Esto suma 968 visitas por segundo. como quien dice, para cada casa cristiana con un niño bueno, Santa tiene alrededor de 1/1000 de segundo para: estacionar el trineo, bajar, entrar por la chimenea, llenar las botas de regalos, distribuir los demás regalos bajo el arbolito, comer los bocadillos que le dejan, trepar nuevamente por la chimenea, subirse al trineo... y llegar a la siguiente casa.

Suponiendo que cada una de esas 108 millones de paradas están equi distribuidas geográficamente, estamos hablando de alrededor de 1248 metros entre casa y casa. Esto significa, un viaje total de 121 millones de kilómetros... sin contar descansos o paradas al baño. Por lo tanto, el trineo de Santa Claus se mueve a una velocidad de 1.040 kilómetros por segundo... es decir, casi tres mil veces la velocidad del sonido.

Hagamos una comparación: el vehículo más rápido fabricado por el hombre viaja a una velocidad máxima de 44 km/seg. Un reno convencional puede correr (como máximo) a 24 km por hora o, lo que es lo mismo, unas siete milésimas de kilómetro por segundo. La carga del trineo agrega otro elemento interesante. Suponiendo que cada niño sólo pidió un juguete de tamaño mediano (digamos de un kilo), el trineo estaría cargando más de 500.000 toneladas... sin contar a Santa Claus. 

En la Tierra un reno normal NO puede acarrear más de 150 kg. Aun suponiendo que un reno pudiera acarrear diez veces el peso normal, el trabajo, obviamente, no podría ser hecho por ocho o nueve renos. Santa Claus necesitaría 360.000 de ellos, lo que incrementa la carga otras 54.000 toneladas... sin contar el peso del trineo.

Más allá de la broma, 600.000 toneladas viajando a 1.040 km/seg sufren una resistencia al aire enorme, lo que calentaría los renos, de la misma forma que se calienta la cubierta de una nave espacial al ingresar a la atmósfera terrestre. 

Por ejemplo, los dos renos de adelante, absorberían 14,3 quintillones de joules de energía por segundo cada uno... por lo que se calcinarían casi instantáneamente, exponiendo a los renos siguientes y creando ensordecedores "booms" sónicos. Todos los renos se vaporarizarían en un poco más de cuatro milésimas de segundo... más o menos cuando Santa Claus esté a punto de realizar su quinta visita.

Si no importara todo lo anterior, hay que considerar el resultado de la desaceleración de 1.040 km/seg. En 0,001 de segundo, suponiendo un peso de Santa Claus de 150 kg, estaría sujeto a una inercia de fuerza de 2.315.000 kg, rompiendo al instante sus huesos y desprendiendo todos sus órganos, reduciéndolo al pobre Santa Claus a una masa sin forma aguada y temblorosa.

Si aun con todos estos datos, los enoja que Santa Claus no les haya traído lo que le pidieron este año, es porque son tremendamente injustos y desconsiderados.